NATURE & DECOUVERTES 42002760 Mode d'emploi

Marque: NATURE & DECOUVERTES

Modèle: 42002760

Taper: Mode d'emploi

Réf. 42002760

Matériel

2 3

Méthode simple de comptage des intersections entre les traits

représentant l’opération souhaitée.

Prenons l’exemple de 31 x 22 :

Étape 1 :

Pour chaque chiﬀre,

dessiner une ligne en prenant

soin de séparer les unités et

les dizaines. Le premier nombre

sera dessiné à la verticale et

le deuxième à l’horizontale

comme le schéma ci-contre :

Étape 2 :

Dessiner des points

à chaque intersection.

Étape 3 :

Compter les points en

commençant par les unités,

puis les dizaines et enﬁn les

centaines. Les unités étant

en bas à droite, les dizaines

au milieu en diagonale, et les

centaines en haut à gauche,

le résultat est de 682.

Autre exemple avec une retenue :

Prenons l’exemple de 21 x 34 :

les étapes sont les mêmes

mais comme nous

trouvons 11 dizaines, soit,

1 centaine et 1 dizaine,

la centaine rejoint les

autres centaines.

Cette règle peut

s’appliquer à des nombres

plus grands et il faudra

simplement toujours bien

séparer les unités, des

dizaines, des centaines, …

Principe :

Après avoir demandé un nombre entre 21 et 100 à une

tierce personne, lui démontrer que la somme de chaque

ligne verticale ou horizontale, des 2 diagonales et des 4 carrés

de 4 cases est égale à son nombre.

Avant de commencer :

La grille est complètement vide au départ. Pour faire le tour, il

faut bien mémoriser la position des chiﬀres marqués en rouge

sur le schéma ci-dessous (de 1 à 12) ainsi que les calculs qu’il

faudra réaliser à partir de son nombre pour remplir les 4 cases

restantes (en vert sur le schéma) soit dans la première case

X-20, X étant le nombre de la personne :

Déroulement :

Supposons que le nombre proposé par la personne soit 40 :

Pour l’impressionner, remplir les cases dans l’ordre.

Dans la première case, je vais donc remplir 40-20 =20.

Dans la deuxième case du haut, j’écris 1, puis 12, puis 7, etc

jusqu’à ce que la grille soit entièrement remplie.

Puis je refais les calculs de chaque ligne, diagonale et carré

pour démontrer que toutes les sommes sont bien égales à 40.

Carré Magique (sur l’ardoise avec la grille) Méthode chinoise de multiplication

(sur l’ardoise vierge)

1 ardoise vierge au dos du support

des bâtons de Neper

(pour les calculs selon la méthode

chinoise avec les traits)

1 tour de Hanoï avec 8 disques

1 ardoise pour feutre eﬀaçable avec une grille d’un côté

(pour le carré magique) et un cadran au verso (pour la

représentation graphique des tables de multiplication.)

1 boulier japonais

1 support et 10 bâtons de Neper

1 feutre noir

et 1 feutre rouge

1 eﬀaceur

Le boulier permet de représenter des nombres et de faire des

opérations.

La lecture du nombre se fait sur la ligne blanche, les pièces sous

cette ligne ont une valeur de 1 et celles du dessus une valeur de 5.

Selon ce principe, pour aﬃcher les chiﬀres de 1 à 4, seul le bas est

utilisé et à partir de 5, il faut descendre la pièce supérieure.

Sur le croquis ci-dessous, le nombre aﬃché est donc 2 563.

A la lecture, toutes les pièces qui ne sont pas collées à la ligne

blanche sont ignorées.

Pour faire une opération simple comme une addition, par

exemple 2 563 + 14 832, il faudra d’abord aﬃcher le premier

nombre puis ajouter chaque valeur en commençant par les unités,

puis les dizaines, et ainsi de suite jusqu’au résultat ﬁnal.

Voici comment la manipulation se décompose :

- J’ajoute 2 à 3, je vais donc monter une première unité et la

colonne étant pleine (4 pièces), je les redescends tout en descendant

la pièce de 5 unités, comme ci-dessous :

- J’ajoute ensuite 3 dizaines aux 6 dizaines déjà écrites. Je monte

donc 3 pièces pour obtenir 6+3 = 9 dizaines.

- J’ajoute ensuite les 8 centaines aux 5 centaines déjà écrites. Je

monte les 4 pièces du bas pour aﬃcher 9 centaines. Comme

l’addition de 8+3 = 13 centaines, soit 1 millier et 3 centaines, je

vais devoir basculer une centaine dans la colonne des milliers.

Je replace donc toutes les centaines à zéro en les éloignant de

la ligne blanche et je monte une pièce de millier. Il faut ensuite

remonter les 3 centaines restantes. A ce stade, le boulier doit

ressembler au schéma ci-dessous.

- Je continue selon la même mécanique jusqu’au résultat ﬁnal,

soit 2 563 + 14 832 = 17 395

Boulier Japonais

- Demande à une personne de penser à un nombre entre 1O

et 100 mais il ne doit te dire lequel à aucun moment. Disons

qu’il aura par exemple choisis le nombre 33.

- Demande lui de multiplier ce nombre par 2. Il obtient donc 66.

- Puis d’ajouter un chiﬀre de ton choix (ce doit être un chiﬀre

pair, par exemple 8). Il obtient donc 66 + 8 = 74

- Demande lui ensuite de diviser par 2. Il obtient 37.

- Puis de retrancher son nombre de départ. Il obtient 4, soit la

moitié du nombre que tu lui as demandé d’ajouter.

- Annonce que le résultat de tous les calculs que tu lui as

demandé de faire est 4 >>> Magique !!!

Soit : ((X x 2 + un chiﬀre pair de ton choix) / 2) - X =

ton chiﬀre / 2

« X » étant le nombre auquel la personne pense

L’idée est de relier les points pour former des graphiques

réguliers selon les résultats des tables de multiplication. Seul

le dernier chiﬀre du résultat compte.

Prenons l’exemple de la table de 3 :

- 1 x 3 = 3, je commence

donc en posant le feutre

sur le chiﬀre 3

- 2 x 3 = 6, je trace le trait de

3 jusqu’à 6

- 3 x 3 = 9, je relie 6 à 9

- 4 x 3 = 12, je relie donc

le 9 au 2

Jusqu’à obtenir une forme

fermée. Découvre vite les

représentations graphiques

des autres tables.

Cette méthode de calcul inventée par le mathématicien écossais

John Napier en 1617 permet de faire des multiplications, des

divisions et plus encore.

Ici, nous allons apprendre le mécanisme pour la multiplication

par un nombre inférieur à 10, par exemple 123 456 789 x 6 :

- Placer les bâtons dans le support pour former le nombre

123 456 789

- Placer l’ardoise avec la fenêtre sur le 6 comme sur le schéma

ci-dessous :

- La méthode consiste à additionner les chiﬀres en diagonale

en commençant par la droite. Le premier chiﬀre étant seul, il

faut reporter le 4 dans les unités.

- Pour les dizaines, il faut additionner 8 + 5 = 13 dizaines, soit

une centaine et 3 dizaines. La centaine doit être marquée

au-dessus dans la diagonale suivante pour être comptée en

même temps que les chiﬀres indiqués sur les bâtons.

- Pour les centaines, il faut donc additionner 1 + 4 + 2 = 7, et

ainsi de suite jusqu’au résultat ﬁnal.

Objectif du jeu :

Déplacer la tour de la tige 1 à la tige 3 en respectant les

contraintes suivantes :

- Toujours déplacer un seul disque à la fois

- Ne jamais poser un disque sur un plus petit que lui

Il est recommandé de commencer avec un petit nombre de

disques et d’augmenter petit à petit, une fois que l’on a compris

la mécanique du jeu.

Quelques notions avant de commencer à jouer :

Pour résoudre le jeu, le nombre de coups dépend de la quantité

de disques, selon la règle suivante : 2n - 1, « n » étant le nombre

de disques. Par exemple :

- Pour 2 disques, il faut 3 coups (22 - 1 = 2 x 2-1 = 3)

- Pour 3 disques, il faut 7 coups (23 - 1 = 2 x 2 x 2-1 = 7)

- 4 disques, 15 coups

- 5 disques, 31 coups

- 6 disques, 63 coups

- 7 disques, 127 coups

- 8 disques, 255 coups

Principe et astuces pour réussir le jeu :

Visualiser tout d’abord les repères 1, 2 et 3 sur la base.

- Le petit disque se déplace un coup sur deux en suivant une

logique cyclique soit :

- Pour un nombre de disques pair, le petit disque se déplace de

la tige 1 vers la tige 2 puis vers la tige 3 et enﬁn à nouveau

vers la tige 1 et ainsi de suite : 1 > 2 > 3 > 1

- Pour un nombre de disques impair, le petit disque se déplace

de la tige 1 vers la tige 3 puis vers la tige 2 et enﬁn à nouveau

vers la tige 1 et ainsi de suite : 1 > 3 > 2 > 1

- Lorsque l’on ne déplace pas le petit disque, on réalise le seul

mouvement possible en respectant les contraintes listées au

début.

Pour pimenter le jeu, un chronomètre peut être utilisé en duel

dans l’objectif de réaliser le déplacement de la tour le plus

rapidement possible.

Je devine le chiﬀre auquel tu penses

Représentation graphique des tables de

multiplication (sur l’ardoise avec le cadran)

Les bâtons de Neper

Tour de Hanoï

Contents

6 7

Simple method of counting the intersections between the

lines representing the desired operation.

Let's look at the example of 31 x 22.

Step 1:

For each ﬁgure, draw a line,

taking care to separate

the tens and units. The ﬁrst

number will be drawn

vertically and the second

horizontally like the diagram

below:

Step 2:

Draw points at each

intersection.

Step 3:

Count the points starting

with the units, then the

tens and ﬁnally the hundreds.

With the units at the bottom

right, the tens in the middle

diagonally, and the hundreds

in the top left, the result is

682.

Another example with a carried number:

Take the example of 21 x 34:

The steps are the same

but since there are 11

tens, i.e. 1 hundred and 1

ten, the hundred joins the

other hundreds.

This rule can apply to

higher numbers and all

you need to do is simply

separate the units, tens,

hundreds, etc.

Principle:

After asking a third person for a number between 21 and

100, show them that the sum of each vertical or horizontal

line, the 2 diagonals and the 4 squares of 4 boxes, is equal to

their number.

Before you begin:

The grid is completely empty at the start. To go around, you

need to memorize the position of the ﬁgures marked in red on

the diagram below (from 1 to 12) as well as the calculations

that will have to be made from its number to ﬁll the 4 remaining

boxes (in green on the diagram) or in the ﬁrst box X-20, X being

the person's number:

Procedure:

Suppose the number proposed by the person is 40:

To impress them, ﬁll in the boxes in order.

In the ﬁrst box, therefore enter 40-20=20.

In the second box at the top, enter 1, then 12, then 7, etc.

until the grid is completely ﬁlled.

Then recalculate each line, diagonal and square to demonstrate

that all the sums are equal to 40.

Magic square (On the board with the grid) Chinese multiplication method

(on the blank board)

1 blank board on the back

of the Napier's Rod holder

(for calculations according to the

Chinese method using lines)

1 Tower of Hanoi with 8 discs

1 board for wipe-clean pens with a grid on one side

(for the magic square) and a dial on the back (for the graphic

representation of the multiplication tables)

1 Japanese abacus

1 holder and 10 Napier's Rods

1 black felt-tip pen

and 1 red

felt-tip pen

1 eraser

The abacus allows you to represent numbers and perform op-

erations.

The number is read on the white line; items under this line have a

value of 1 and those above have a value of 5.

According to this principle, to display the numbers from 1 to 4,

use only the bottom, and from 5 the upper item must be lowered.

On the sketch below, the number displayed is therefore 2,563.

When reading, all the items that are not touching the white line

are ignored.

To perform a simple operation such as an addition, for example

2,563 + 14,832, you will ﬁrst have to display the ﬁrst number

then add each value starting with the units, then the tens, and so

on until the ﬁnal result.

Here's how the operation breaks down:

- Add 2 to 3, so raise the ﬁrst unit and since the column is full (4

items), bring it all down by bringing the item down by 5 units, as

below:

- Then add 3 tens to the 6 tens already written. Then raise 3 items

to get 6=3 = 9 tens.

- Then add the 8 hundreds to the 5 hundreds already written.

Raise the 4 bottom items to display 9 hundreds. As the addition

of 8+3 = 13 hundreds, that is 1 thousand and 3 hundreds, you

will need to switch a hundred into the thousands column. So

return all the hundreds to zero by moving them away from the

white line and raise one thousand item. You will then need to

bring back the remaining 3 hundreds. At this point, the abacus

should look like the diagram below.

- Continue with the same mechanics until the ﬁnal result, or

2,563 + 14,832 = 17,395

Japanese Abacus

- Ask a person to think of a number between 1O and 100 but

they should not tell you which one at any time. Let us say

that they have chosen, for example, the number 33.

- Ask them to multiply this number by 2. They therefore get 66.

- Then add a number of your choice (it must be an even

number, for example 8) So they get 66+8=74

- Then ask them to divide by 2. They get 37.

- Then subtract their starting number. They get 4, which is

half the number you asked them to add.

- Announce that the result of all the calculations you asked

them to do is 4 >>> Magic!!!

Either: ((X x 2 + an even number of your choice) /2) - X =

your number /2

"X" being the number the person is thinking of.

The idea is to connect the dots to form regular graphs

according to the results of the multiplication tables. Only

the last digit of the result counts.

Let's look at the example from table 3:

- 1 x 3 = 3, start by placing

the felt-tip pen on the

number 3

- 2x3 = 6, draw a line

from 3 to 6

- 3 x 3 = 9, connect 6 to 9

- 4x3 = 12, so connect 9 to

2… until you get a closed

shape.

Quickly discover the graphic

representations of the other

tables.

This calculation method invented by Scottish mathematician

John Napier in 1617 makes it possible to perform multiplications,

divisions and more.

Here, we will learn the mechanism for multiplying by a number

less than 10, for example 123 456 789 x 6:

- Place the rods in the holder to form the number 123 456

789

- Place the board with the window on the 6 as shown in the

diagram below:

- The method consists of adding the ﬁgures diagonally starting

from the right. Since the ﬁrst digit is alone, the 4 needs to be

carried in the units.

- For the tens, add 8 + 5 = 13 tens, or one hundred and 3 tens.

The hundred must be marked above in the following diagonal

to be counted together with the numbers indicated on the

rods.

- For the hundreds, you will therefore need to add 1 + 4 + 2 = 7,

and so on until the ﬁnal result.

Objective of the game:

Move the tower from rod 1 to rod 3 respecting the following

constraints:

- Always move just one disc at a time

- Never put a disc on top of one that is smaller than it

It is recommended to start with a small number of discs and to

increase gradually, once you understand the mechanics of the

game.

A few things before you start playing:

To solve the game, the number of moves depends on the quan-

tity of discs, according to the following rule: 2n-1, "n" being the

number of discs: For example:

- For 2 discs, it takes 3 moves (22 -1 = 2x2-1 = 3)

- For 3 discs, 7 moves are required (23 -1 = 2x2x2-1 = 7)

- 4 discs, 15 moves

- 5 discs, 31 moves

- 6 discs, 63 moves

- 7 discs, 127 moves

- 8 discs, 255 moves

Principle and tips for a successful game:

First of all, look at the markers 1, 2 and 3 on the base.

- The small disc moves every other stroke following a cyclic logic,

either:

- For an even number of discs, the small disc moves from rod 1

to rod 2 then to rod 3 and ﬁnally again to rod 1 and so on:

1 > 2 > 3 > 1

- For an odd number of discs, the small disc moves from rod 1

to rod 3 then to rod 2 and ﬁnally again to rod 1 and so on:

1 > 3 > 2 > 1

- When the small disc is not moved, the only possible movement

is carried out while respecting the constraints listed at the

beginning.

To spice up the game, a stopwatch can be used in a duel with

the aim of moving the tower as quickly as possible.

Guess the number they are thinking of

Graphic representation of multiplication

tables (on the board with the dial)

Napier's Rods

Tower of Hanoi

Material

10 11

Método simple de recuento de intersecciones entre los trazos

que representan la operación deseada.

Tomemos como ejemplo 31 x 22 :

Paso 1 :

Para cada número, dibuja una

línea con cuidado de separar

las unidades y las decenas.

El primer número se dibujará

en vertical y el segundo en

horizontal como en el

esquema siguiente :

Paso 2 :

Dibuja puntos en cada

intersección.

Paso 3 :

Cuente los puntos

comenzando por las

unidades, luego las decenas

y, ﬁnalmente, las centenas.

Ubicando las unidades en la

parte inferior derecha, las

decenas en el centro en

diagonal y las centenas en la

parte superior izquierda, el

resultado es 682.

Otro ejemplo con un

acarreo :

Tomemos como ejemplo

21 x 34 :

Los pasos son los mismos

pero, puesto que

encontramos 11 decenas,

es decir, 1 centena y 1

decena, la centena se une

a las otras centenas.

Esta regla puede aplicarse

a números más grandes y solo se deberán separar bien las

unidades, las decenas, las centenas, etc.

Premisa :

Después de pedirle a una tercera persona que piense un número

entre 21 y 100, mostrarle que la suma de cada línea vertical

u horizontal, de las 2 diagonales y los 4 cuadrados de 4 casillas

equivale a su número.

Antes de empezar :

Al principio, la cuadrícula está completamente vacía. Para dar

la vuelta, hay que memorizar la posición de las cifras marcadas

en rojo en el siguiente esquema (del 1 al 12), así como los

cálculos que deberán realizarse a partir de su número para

rellenar las 4 casillas restantes (en verde en el esquema), es

decir en la primera casilla X-20, teniendo en cuenta que X es

el número de la persona:

Procedimiento :

Supongamos que el número que propone la persona es el 40 :

Para impresionarlo, rellene las casillas en orden.

Por lo tanto, en la primera casilla indicaré 40-20=20.

En la segunda casilla de la parte superior, escribiré 1, luego 12,

luego 7, etc. hasta que la cuadrícula esté completada del todo.

Luego volveré a realizar los cálculos de cada línea, diagonal y

cuadrado para demostrar que todas las sumas equivalen a 40.

Cuadrado Mágico (En la pizarra con la cuadrícula) Método de multiplicación chino

(en la pizarra en blanco)

1 pizarra en blanco en la parte

posterior del tablero de los ábacos

neperianos (para realizar cálculos

según el método chino con los

trazos)

1 torre de Hanói con 8 discos

1 pizarra para rotulador borrable con una cuadrícula en

un lado (para el cuadrado mágico) y una esfera en la parte

posterior (para la representación gráﬁca de las tablas de

multiplicar)

1 ábaco japonés

1 tablero y 10 ábacos neperianos

1 rotulador negro

y 1 rotulador rojo

1 borrador

El ábaco permite representar números y realizar operaciones. El

número se lee en la línea blanca, las piezas de debajo de esta línea

tienen un valor de 1 y las de arriba tienen un valor de 5. De

acuerdo con esta premisa, para representar los números del 1 al

4, solo se utilizará la parte inferior y a partir de 5, se deberán

bajar las piezas de la parte superior. Por lo tanto, en el siguiente

dibujo, el número representado es 2563.

Cuando se lee el ábaco, se ignoran todas las piezas que no están

pegadas a la línea blanca.

Para hacer una operación simple como una suma, por ejemplo

2563 + 14 832, primero hay que representar el primer número,

luego sumar cada valor comenzando por las unidades, luego las

decenas, y así sucesivamente hasta el resultado ﬁnal.

Así se desglosa el procedimiento:

- Sumo 2 y 3, de esta manera subiré una primera unidad y como la

columna está llena (4 piezas), las vuelvo a bajar y pego a la línea

blanca la pieza de 5 unidades, como se muestra a continuación :

- Luego sumo 3 decenas a las 6 decenas ya escritas. Subo 3 piezas

para obtener 6=3 = 9 decenas.

- A continuación, sumo las 8 centenas a las 5 centenas ya escritas.

Subo las 4 piezas inferiores para representar 9 centenas. Como

la suma de 8+3 = 13 centenas, es decir 1 mil y 3 centenas,

tendré que desplazar una centena a la columna de los miles. Así,

vuelvo a dejar todas las centenas a cero alejando las piezas de la

línea blanca y subo una pieza de mil. A continuación, debo volver

a subir las 3 centenas restantes. En este punto, el ábaco debería

parecerse al esquema siguiente.

- Continúo con la misma mecánica hasta lograr el resultado ﬁnal,

es decir 2563 + 14 832 = 17 395

Ábaco japonés

- Pídele a una persona que piense un número del 10 al 100,

sin decirte qué número tiene en mente en ningún momento.

Digamos, por ejemplo, que ha elegido el número 33.

- Pídele que multiplique ese número por 2. Por lo tanto, 66.

- Luego que le sume un número de tu elección (debe ser un

número par, por ejemplo 8). El resultado será 66 + 8 = 74

- A continuación, pídele que divida por 2. Y obtiene 37.

- Luego que reste su número inicial. Obtiene 4, es decir la

mitad del número que le pediste que sumara.

- Comunícale que el resultado de todos los cálculos que le has

pedido que realice es 4 >>> ¡Magia !!!

Es decir : [(X x 2 + un número par de tu elección) /2] - X =

tu número / 2

« X » es el número que la persona ha pensado.

Consiste en conectar los puntos para formar gráﬁcos ﬁjos

según los resultados de las tablas de multiplicar. Solo

cuenta la última cifra del resultado.

Tomemos la tabla del 3 como ejemplo :

- 1 x 3 = 3, así que empiezo

colocando el rotulador

sobre el número 3

- 2 x 3 = 6, dibujo la línea

del 3 al 6

- 3x3 = 9, conecto el 6 y el 9

- 4x3 = 12, conecto

el 9 y el 2... hasta que

obtenga una forma cerrada.

Descubre rápidamente las

representaciones gráﬁcas de

las otras tablas.

- El método consiste en sumar los números en diagonal

empezando por la derecha. El primer número está solo, es

necesario llevar el 4 a las unidades.

En el caso de las decenas, hay que sumar 8+5 = 13 decenas,

es decir, una centena y 3 decenas. La centena debe marcar-

se arriba en la diagonal siguiente para contarla junto con los

números indicados en las varillas.

Por lo tanto, en el caso de las centenas hay que sumar

1+4+2 = 7, y así sucesivamente hasta el resultado ﬁnal.

- El método consiste en sumar los números en diagonal em-

pezando por la derecha. El primer número está solo, es

necesario llevar el 4 a las unidades.

- En el caso de las decenas, hay que sumar 8+5 = 13 decenas,

es decir, una centena y 3 decenas. La centena debe marcarse

arriba en la diagonal siguiente para contarla junto con los

números indicados en las varillas.

- Por lo tanto, en el caso de las centenas hay que sumar

1 + 4 + 2 = 7, y así sucesivamente hasta el resultado ﬁnal.

Objetivo del juego :

Mover la torre de la barra 1 a la barra 3 cumpliendo las siguientes

condiciones :

- Solo se puede mover un disco cada vez

- No se puede colocar un disco encima de otro disco más pe-

queño

Se recomienda empezar con un número reducido de discos y

aumentar gradualmente cuando se entienda la mecánica del

juego.

Algunas bases antes de comenzar a jugar :

Para resolver el juego, el número de movimientos depende de

la cantidad de discos según la regla siguiente: 2n-1, teniendo en

cuenta que « n » es el número de discos. Por ejemplo :

- Para 2 discos, hacen falta 3 movimientos (22-1 = 2x2-1 = 3)

- Para 3 discos, hacen falta 7 movimientos (23-1 = 2x2x2-1 = 7)

- 4 discos, 15 movimientos

- 5 discos, 31 movimientos

- 6 discos, 63 movimientos

- 7 discos, 127 movimientos

- 8 discos, 255 movimientos

Premisa y trucos para ganar el juego :

En primer lugar, visualiza las marcas 1, 2 y 3 de la base.

- El disco pequeño se mueve cada dos movimientos siguiendo

una lógica cíclica, es decir :

- Cuando el número de discos es par, el disco pequeño se mue-

ve de la barra 1 a la barra 2, y luego a la barra 3 y, ﬁnalmente,

vuelve a la barra 1 y así sucesivamente : 1 > 2 > 3 > 1

- Cuando el número de discos es impar, el disco pequeño se

mueve de la barra 1 a la barra 3, y luego a la barra 2 y, ﬁnal-

mente, vuelve a la barra 1 y así sucesivamente : 1 > 3 > 2 > 1

- Cuando no movemos el disco pequeño, realizamos el único

movimiento posible respetando las restricciones mencionadas

al principio.

Para darle vida al juego, se puede usar un cronómetro en un

duelo con el objetivo de desplazar la torre lo más rápido posible.

Adivino el número que has pensado

Representación gráﬁca de las tablas de

multiplicar (en la pizarra con la esfera)

El ábaco neperiano

Torre de Hanói

Materiaal

14 15

Eenvoudige methode voor het tellen van de kruisingen tussen

de streepjes die de gewenste bewerking voorstellen.

Bijvoorbeeld 31 x 22:

Stap 1:

Teken voor elk cijfer een

streepje, waarbij de eenheden

en tientallen worden

gescheiden. Het eerste getal

wordt verticaal getekend en

het tweede horizontaal, zoals

in het onderstaande schema:

Stap 2:

Breng stippen aan op elke

kruising.

Stap 3:

Tel de stippen, te beginnen

met de eenheden, dan

de tientallen en tenslotte de

honderdtallen. De eenheden

staan onderaan rechts,

de tientallen in het midden

diagonaal en de honderdtal-

len bovenaan links.

Het resultaat is dus 682.

Nog een voorbeeld, deze

keer met een te onthouden cijfer:

Bijvoorbeeld 21 x 34:

De stappen zijn dezelfde,

maar aangezien er deze

keer 11 tientallen zijn, dus

1 honderdtal en 1 tiental,

wordt het honderdtal bij

de andere honderdtallen

opgeteld.

Deze regel kan worden

toegepast op grotere

getallen. Daarbij moet je

de eenheden, tientallen,

honderdtallen, enz. goed uit elkaar houden.

Principe:

Vraag aan iemand om een getal te noemen tussen 21 en 100

en toon aan deze persoon dat de som van elke verticale kolom

en horizontale regel, van de 2 diagonalen en de 4 vierkanten

van 4 vakjes telkens gelijk is aan het genoemde getal.

Voorbereiding:

Het rooster is bij het begin helemaal leeg. Om het trucje te

kunnen doen, moet je de positie van de rood gemarkeerde

cijfers in het onderstaande schema (van 1 tot 12) goed ont-

houden en ook de berekeningen die je moet doen met het

genoemde getal om de 4 resterende vakjes in te vullen (groen

gemarkeerd in het schema), of in het eerste vakje X-20, waarbij

X het getal is dat de persoon heeft genoemd:

Verloop:

Stel dat de gevraagde persoon bijvoorbeeld het getal 40 noemt:

Vul de vakjes in de juiste volgorde in om het indrukwekkende

trucje uit te voeren.

In het eerste vakje vul je dus 40-20 = 20 in.

In het tweede vakje van boven vul je 1 in, dan 12, dan 7, enz.,

tot het rooster volledig is ingevuld.

Dan bereken je de som voor elke regel, elke diagonaal en elk

vierkant om aan te tonen dat alle sommen gelijk zijn aan 40.

Magisch vierkant (op het bord met het rooster) Chinese methode voor vermenigvuldiging

(op het blanco bord)

1 blanco bord aan de achterkant

van de steun voor de stokjes van

Napier (voor het tellen volgens de

Chinese methode met streepjes)

1 set Torens van Hanoi met 8 schijven

1 bord voor afwisbare stift met een rooster aan één kant

(voor het magische vierkant) en een wijzerplaat aan de

andere kant (voor de graﬁsche weergave van de tafels van

vermenigvuldiging)

1 Japans telraam

1 steun en 10 stokjes van Napier

1 zwarte en

1 rode stift

1 wisser

Op het telraam kunnen getallen en bewerkingen worden voor-

gesteld. Het getal wordt afgelezen op de witte lijn, de schijven

onder deze lijn hebben een waarde van 1 en de schijven erboven

een waarde van 5. Volgens dit principe wordt voor het weergeven

van de cijfers van 1 tot 4 alleen het gedeelte onder de lijn gebruikt

en vanaf 5 moet het gedeelte boven de lijn worden gebruikt. Op

de onderstaande illustratie is het weergegeven getal dus 2563.

Bij het aﬂezen worden alle schijven die niet tegen de lijn aan liggen

genegeerd.

Voor een eenvoudige bewerking zoals een som, bijvoorbeeld

2563 + 14.832, moet eerst het eerste getal worden gevormd en

daarna elke waarde worden opgeteld, te beginnen met de een-

heden, dan de tientallen enzovoort, tot het resultaat is berekend.

Dit zijn de stappen van de bewerking:

- Ik tel 2 op bij 3, ik schuif dus een eerste eenheid omhoog, en

aangezien de kolom nu vol is (4 schijven), schuif ik deze allemaal

weer naar beneden en schuif ik boven de lijn een schijf van 5

eenheden naar beneden, zoals hieronder weergegeven:

- Vervolgens voeg ik 3 tientallen toe aan de 6 die er al staan. Ik

schuif dus 3 schijven omhoog om 6+3 = 9 tientallen te maken.

- Vervolgens voeg ik 3 honderdtallen toe aan de 5 die er al staan.

Ik schuif 4 schijven aan de onderkant naar boven om 9 honderd-

tallen te vormen. Aangezien de som van 8+3 = 13 honderdtallen,

dus 1 duizendtal en 3 honderdtallen, moet ik één honderdtal

overzetten naar de kolom van de duizendtallen. Ik plaats dus alle

honderdtallen terug naar nul door ze van de witte lijn weg te

schuiven, en ik schuif één schijf voor de duizendtallen naar boven.

Vervolgens moeten de 3 resterende honderdtallen weer naar

boven worden geschoven. Nu moet het telraam er uitzien zoals

op de onderstaande illustratie.

- Ik ga verder volgens hetzelfde principe tot het eindresultaat is

berekend, namelijk 2563 + 14.832 = 17.395

Japans telraam

Ik raad het getal waaraan je denkt

Graﬁsche voorstelling van de tafels van vermenigvuldiging (op het bord met de wijzerplaat)

- Vraag aan iemand om te denken aan een getal tussen 10 en

100 maar het niet aan jou te verraden. Stel dat de persoon

bijvoorbeeld denkt aan het getal 33.

- Vraag hem of haar om het getal te vermenigvuldigen met 2.

Dat maakt dus 66.

- Dan vraag je hem of haar om er een cijfer van jouw keuze bij op

te tellen (het moet een even cijfer zijn, bijvoorbeeld 8). Het

resultaat is dus 66+8=74.

- Vraag hem of haar vervolgens om te delen door 2. Het resultaat

is 37.

- Vervolgens moet het oorspronkelijke getal worden afgetrok-

ken. Het resultaat is 4, dus de helft van het getal dat jij had

gekozen voor de som.

- Zeg dan dat het resultaat van alle berekeningen waarvoor je

instructies hebt gegeven gelijk is aan 4 >>> Ongelooﬂijk!!!

Dus: ((X x 2 + een even cijfer dat jij kiest) /2) - X = jouw cijfer/2

waarbij "X" het getal is dat de andere persoon in gedachten

had.

Het idee is dat de punten worden verbonden tot regelmatige graﬁeken volgens de

resultaten van de tafels van vermenigvuldiging. Alleen het laatste cijfer van het product is van

belang.

Bijvoorbeeld, de tafel van 3:

1x3 = 3, je begint dus door je stift op het cijfer 3 te plaatsen

2x3 = 6, je trekt dus een lijn van 3 naar 6

3x3 = 9, je verbindt dus 6 met 9

4x3 = 12, je verbindt dus 9 met 2 …

tot je een gesloten vorm hebt getekend.

Deze rekenmethode werd ontwikkeld door de Schotse wis-

kundige John Napier in 1617 en kan worden gebruikt voor

vermenigvuldigingen, delingen en andere bewerkingen.

Hier leggen we de techniek voor het vermenigvuldigen met

een cijfer kleiner dan 10 uit, bijvoorbeeld 123 456 789 x 6:

- Plaats de stokjes in de steun om het getal 123 456 789 te

vormen.

- Plaats het bord met het venster op de 6 zoals in de onder-

staande illustratie.

- Bij deze methode moeten de diagonaal geplaatste cijfers bij

elkaar worden opgeteld, te beginnen aan de rechterkant.

Aangezien het eerste cijfer alleen in een vak staat, moet de

4 bij de eenheden worden geteld.

- Voor de tientallen moet de som worden gemaakt van 8+5

= 13 tientallen, dus één honderdtal en 3 tientallen. Het

honderdtal moet boven de volgende diagonaal worden ge-

noteerd om tegelijk te worden geteld met de cijfers op de

stokjes.

- Voor de honderdtallen moet dus de som worden gemaakt

van 1+4+2 = 7, enzovoort, tot het eindresultaat is bere-

kend.

Doel van het spel:

De toren van stokje 1 naar stokje 3 verplaatsen en daarbij de

volgende regels respecteren:

- Telkens slechts één schijf tegelijk verplaatsen

- Nooit een grotere schijf op een kleinere plaatsen

Je begint best met een klein aantal schijven en verhoogt dan

beetje bij beetje het aantal schijven wanneer je de strategie

van het spel hebt begrepen.

Enkele tips voordat je begint te spelen:

Om het doel van het spel te bereiken, is het aantal zetten afhan-

kelijk van het aantal schijven, volgens de formule 2n-1, waarbij

"n" het aantal schijven voorstelt. Bijvoorbeeld:

- Voor 2 schijven zijn 3 zetten nodig (22-1 = 2 x 2-1 = 3)

- Voor 3 schijven zijn 7 zetten nodig (23-1 = 2 x 2 x 2-1 = 7)

- 4 schijven, 15 zetten

- 5 schijven, 31 zetten

- 6 schijven, 63 zetten

- 7 schijven, 127 zetten

- 8 schijven, 255 zetten

Principe en tips voor het spel:

Bekijk eerst de referenties 1, 2 en 3 op de basis.

- De kleine schijf wordt één zet op 2 verplaatst volgens een

cyclische logica:

- Voor een even aantal schijven wordt de kleine schijf van stokje

1 naar stokje 2 en dan naar stokje 3 verplaatst en tenslotte

weer naar stokje 1, enzovoort: 1 > 2 > 3 > 1

- Voor een oneven aantal schijven wordt de kleine schijf van

stokje 1 naar stokje 3 en dan naar stokje 2 verplaatst en

tenslotte weer naar stokje 1, enzovoort: 1 > 3 > 2 > 1

- Wanneer de kleine schijf niet wordt verplaatst, voert men de

enige mogelijke verplaatsing volgens de hierboven vermelde

regels uit.

Om het spel spannender te maken, kan een chronometer

worden gebruikt om te proberen de toren zo snel mogelijk te

verplaatsen.

De stokjes van NapierTorens van Hanoi

Material

18 19

Método simples de contar as interseções entre as linhas que

representam a operação desejada.

Considere o exemplo de 31 x 22:

Passo 1:

Para cada algarismo, desenhe

uma linha, tendo o cuidado de

separar as unidades e as

dezenas. O primeiro número

será desenhado verticalmente

e o segundo horizontalmente

como o diagrama abaixo:

Passo 2:

Desenhe pontos em cada

interseção.

Passo 3:

Conte os pontos que

começam com as unidades,

depois as dezenas e

ﬁnalmente as centenas. Com

as unidades no canto inferior

direito, as dezenas no meio

na diagonal e as centenas no

canto superior esquerdo, o

resultado é 682.

Outro exemplo com uma retenção:

Veja o exemplo de 21 x 34:

Os passos são os mesmos,

mas quando encontramos

11 dezenas, ou seja, 1

centena e 1 dezena, a

centena junta-se às

outras centenas.

Esta regra pode ser

aplicada a números

maiores e será sempre

necessário separar as

unidades, dezenas,

centenas, etc.

Princípio:

Após pedir a uma terceira pessoa um número entre 21 e 100,

demonstre que a soma de cada linha vertical ou horizontal,

das 2 diagonais e dos 4 quadrados de 4 casas é igual ao seu

número.

Antes de começar:

A grelha está completamente vazia no início. Para percorrer,

é necessário memorizar a posição dos algarismos marcados a

vermelho no diagrama abaixo (de 1 a 12), bem como os cálculos

que deverão ser feitos a partir do seu número para preencher

as 4 casas restantes (a verde no diagrama) ou na primeira

casa X-20, sendo X o número da pessoa:

Procedimento:

Suponha que o número proposto pela pessoa é 40:

Para impressioná-la, preencha as casas por ordem.

Na primeira casa, portanto, vou preencher 40-20 = 20.

Na segunda casa na parte superior, escrevo 1, depois 12, depois

7, etc. até que a grelha esteja completamente preenchida.

Depois refaço os cálculos de cada linha, diagonal e quadrado,

para demonstrar que todas as somas são iguais a 40.

Quadrado mágico (na ardósia com a grelha) Método chinês de multiplicação

(na ardósia branca)

1 ardósia branca na parte de trás

do suporte das varas Neper (para

cálculos de acordo com o método

chinês com as linhas)

1 torre de Hanói com 8 discos

1 ardósia de feltro apagável com uma grelha de um lado

(para o quadrado mágico) e um quadrante na parte de trás

(para a representação gráﬁca das tabuadas)

1 ábaco japonês

1 suporte e 10 varas de Neper

feltro preto e

1 feltro vermelho

1 apagador

O ábaco permite representar números e realizar operações. O

número é lido na linha branca, as peças abaixo desta linha têm o

valor de 1 e as peças acima têm o valor de 5. De acordo com

este princípio, para exibir os números de 1 a 4, apenas a base é

usada e a partir de 5, a parte superior deve ser baixada. No desenho

abaixo, o número exibido é, portanto, 2563. Ao ler, todas as

peças que não estão colocadas na linha branca são ignoradas.

Para executar uma operação simples, como uma adição, por

exemplo 2563 + 14 832, primeiro é necessário exibir o primeiro

número e adicionar cada valor começando pelas unidades, depois

as dezenas e assim por diante até o resultado ﬁnal.

Veja como a manipulação se divide:

- Eu adiciono 2 a 3, para subir uma primeira unidade e depois de

a coluna estar cheia (4 peças), torno a descê-las enquanto

desço a peça de 5 unidades, como abaixo:

- Adiciono a seguir 3 dezenas às 6 dezenas já escritas. Subo 3

peças para obter 6=3 = 9 dezenas.

- Depois adiciono as 8 centenas às 5 centenas já escritas. Subo

as 4 peças inferiores para exibir 9 centenas. Como a adição de

8 + 3 = 13 centenas, isto é 1 milhar e 3 centenas, terei que

trocar uma centena na coluna de milhares. Reponho todas as

centenas para zero, afastando-as da linha branca e subo uma

peça de milhar. É necessário tornar a subir as 3 centenas restantes.

Neste ponto, o ábaco deve parecer-se com o diagrama abaixo.

- Continuo com a mesma mecânica até o resultado ﬁnal, isto é

2563 + 14 832 = 17 395

Ábaco japonês

- Peça a uma pessoa que pense num número entre 10 e 100,

mas ela não deve dizer qual em momento algum. Digamos

que a pessoa tenha escolhido, por exemplo, o número 33.

- Peça-lhe para multiplicar esse número por 2. Irá obter 66.

- Em seguida, adicione um algarismo à sua escolha (deve ser

um número par, por exemplo, 8). Irá obter 66 + 8 = 74

- Depois peça-lhe para dividir por 2. Irá obter 37.

- Em seguida, subtraia o número inicial. Irá obter 4, que é

metade do número que lhe pediu para adicionar.

- Anuncie que o resultado de todos os cálculos que lhe pediu

para efetuar é 4 >>> Mágico!!!

Ou: [(X x 2 + um algarismo par à sua escolha) /2] - X =

seu número /2

«X» é o número em que a pessoa está a pensar.

A ideia é ligar os pontos para formar gráﬁcos regulares de

acordo com os resultados das tabuadas. Apenas o último

algarismo do resultado conta.

Considere o exemplo da tabuada do 3:

- 1x3 = 3, começo por

colocar o feltro no

algarismo 3

- 2x3 = 6, desenho a linha de

3 a 6

- 3x3 = 9, ligo 6 a 9

- 4x3 = 12, ligo o 9 ao 2…

até obter uma forma fechada.

Descubra rapidamente as

representações gráﬁcas das

outras tabuadas.

Este método de cálculo inventado pelo matemático escocês

John Napier em 1617 permite realizar multiplicações, divisões

e muito mais.

Aqui vamos aprender o mecanismo para multiplicar por um

número menor que 10, por exemplo 123 456 789 x 6:

- Coloque os paus no suporte para formar o número 123 456

789

- Coloque a ardósia com a janela no 6 como no diagrama

abaixo

- O método consiste em adicionar os algarismos na diagonal

começando na direita. Se o primeiro algarismo estiver so-

zinho, é necessário transferir o 4 nas unidades.

- Para as dezenas, é necessário adicionar 8+5 = 13 dezenas,

ou uma centena e 3 dezenas. A centena deve ser marcada

acima na diagonal a seguir para ser contada ao mesmo

tempo que os algarismos indicados nos paus.

- Para as centenas, é necessário, portanto, adicionar 1+4+2

= 7e assim por diante até o resultado ﬁnal.

Objetivo do jogo:

Mova a torre da haste 1 para a haste 3, respeitando as seguintes

restrições:

- Mova sempre apenas um disco de cada vez

- Nunca coloque um disco num que seja mais pequeno

Recomenda-se começar com um pequeno número de discos

e aumentar gradualmente, assim que entender a mecânica do

jogo.

Algumas noções antes de começar a jogar:

Para resolver o jogo, o número de jogadas depende da quan-

tidade de discos, de acordo com a seguinte regra: 2n-1, «n»

sendo o número de discos. Por exemplo:

- Para 2 discos, são necessárias 3 jogadas (22-1 = 2 x 2-1 = 3)

- Para 3 discos, são necessárias 7 jogadas (23-1 = 2 x 2 x 2-1 = 7)

- 4 discos, 15 jogadas

- 5 discos, 31 jogadas

- 6 discos, 63 jogadas

- 7 discos, 127 jogadas

- 8 discos, 255 jogadas

Princípio e dicas para ter êxito no jogo:

Primeiro, visualize as marcas 1, 2 e 3 na base.

- O disco pequeno move-se numa jogada em 2 seguindo uma

lógica cíclica:

- Para um número par de discos, o disco pequeno move-se da

haste 1 para a haste 2, depois para a haste 3 e, ﬁnalmente,

novamente para a haste 1 e assim por diante: 1 > 2 > 3 > 1

- Para um número ímpar de discos, o disco pequeno move-se

da haste 1 para a haste 3, depois para a haste 2 e, ﬁnalmente,

novamente para a haste 1 e assim por diante: 1 > 3 > 2 > 1

- Quando o disco pequeno não é movido, o único movimento

possível é realizado, respeitando as restrições indicadas no

início.

Para tornar o jogo mais interessante, pode ser utilizado um

cronómetro num duelo com o objetivo de mover a torre o

mais rápido possível.

Adivinho o algarismo que estás a pensar

Representação gráﬁca das tabuadas

(na ardósia com o quadrante)

Varas de Neper

Torre de Hanói

Nature & Découvertes

11 rue des Etangs Gobert

78000 Versailles (France)

www.natureetdecouvertes.com

N°service client : +33(0)1 8377 0000

NATURE & DECOUVERTES 42002760 Mode d'emploi

Marque: NATURE & DECOUVERTES

Modèle: 42002760

Taper: Mode d'emploi

Télécharger le PDF

rapport

dans d''autres langues

English: NATURE & DECOUVERTES 42002760 Operating instructions
español: NATURE & DECOUVERTES 42002760 Instrucciones de operación
Nederlands: NATURE & DECOUVERTES 42002760 Handleiding
português: NATURE & DECOUVERTES 42002760 Instruções de operação

NATURE & DECOUVERTES 42002760 Mode d'emploi

NATURE & DECOUVERTES 42002760 Mode d'emploi

dans d''autres langues

Autres documents